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归一化的主要公式

1.将数据归一到[0,1]：

$$x^{\prime }=\frac{x-min(x)}{max(x)-min(x)}$$

其中$max(x)$和$min(x)$分别是数据的最大值和最小值。

2.将数据归一化到[-1,1]：

$$x^{\prime }=\frac{x-mean(x)}{max(x)-min(x)}$$

其中$mean(x)$是数据的均值。

3.将数据归一化到均值为0，标准差为1的标准正态分布上：

$$x^{\prime }=\frac{x-\mu }{\sigma }$$

其中$\mu$和$\sigma$分别是数据的均值和标准差。

4.将数据归一化到[a,b]：

计算系数：

数据归一化：

$$x^{\prime }=a+k\times (x-min(x))$$

或者

$$x^{\prime }=b+k\times (x-max(x))$$

归一化的作用

1. 消除数据之间的量纲的影响，是数据的分布一致。（尤其是神经网络一直在算概率）
2. 使数据集的更新速度变得更为一致，容易更快地通过梯度下降找到最优解（加速收敛速度）。如下图所示。
3. 消除异常样本的影响，异常样本会增加网络学习难度，可能导致训练不收敛。
4. 保证输出特征中数值小的特征也可以被充分学习。
5. 避免梯度消失，比如使用Sigmoid激活函数时，数值小于0和大于1时会导致梯度几乎为0。

归一化应用场景

需要用到梯度下降法求解的模型通常需要归一化，如线性回归，罗辑回归，支持向量机和神经网络等模型。

但是对于决策树则并不适用，以C4.5为例，决策树在进行节点分裂时主要依据数据集D关于特征x的信息增益比，而信息增益比跟特征是否经过归一化是无关的，因为归一化并不会改变样本在特征x上的信息增益。

不进行归一化的后果

假设 $w1$ 的范围在 $[-10,10]$，而 $w2$ 的范围在 $[-100,100]$，梯度每次都前进 1 单位，那么在 $w1$ 方向上每次相当于前进了 $1/20$，而在 $w2$ 上只相当于 $1/200$！某种意义上来说，在 $w2$ 上前进的步长更小一些,而 $w1$ 在搜索过程中会比 $w2$ “走”得更快。

​ 这样会导致，在搜索过程中更偏向于 $w1$ 的方向。走出了“L”形状，或者成为“之”字形。

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